De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Multivariate kansvariabelen en functies van kansvariabelen

Hoe integreer ik de functie ¹/_(1+x⁴)?

Antwoord

Door te splitsen in partieelbreuken. Maar daarvoor moet je wel eerst 1+x⁴ kunnen ontbinden. x⁴+1 heeft duidelijk geen reële wortels, dus zal je het moeten kunnen schrijven als product van twee tweedegraadspolynomen.

x⁴+1 = (x²+ax+b)(x²+cx+d)
= x⁴ + x³(a+c) + x²(d+ac+b) + x(ad+bc) + bd

Daaruit haal je: a+c=0, d+ac+b=0, ad+bc=0, bd=1
ad+bc=0 en a+c=0, dus -cd+bc=0, dus c(b-d)=0.
Stel c=0, dan a=0, dan d+b=0 en db=1 dus d²=-1: kan niet.
Dus b=d en bd=1, dus b=d=±1.
Stel b=d=-1, dan 0=d+ac+b=-2-a². Dus a²=-2, kan niet.
Dus b=d=1, dan 0=d+ac+b=2-a². Dus a²=2, dus a=±Ö2 en c=-a.

Conclusie:
x⁴+1 = (x²+Ö2x+1)(x²-Ö2x+1)

Nu moet je enkel nog 1/(x⁴+1) schrijven als
(Ax+B)/(x²+Ö2x+1) + (Cx+D)/(x²-Ö2x+1), hier uit A,B,C en D oplossen (klassieke oefening op partieelbreuken).

Het antwoord bestaat dan zoals steeds uit een ln-deel en een Arctg-deel. Je kan je oplossing controleren met online primitiveren

Groeten,
Christophe.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Statistiek
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	19-5-2024